09 Die Konstruktion der rationalen Zahlen

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Die Konstruktion der rationalen Zahlen - Aufgabe 1 (von 4)

Berechnen Sie $\begin{array}{r} \frac{7}{18} \cdot (\frac{4}{27} + \frac{32}{63}) . \end{array}$ Kürzen Sie dabei das Ergebnis soweit es möglich ist.
Lösen Sie die Gleichung $\begin{array}{r} \frac{x}{3} - 2 x = 8 \end{array}$ nach $x$ auf .

$\begin{array}{r} \frac{7}{18} \cdot (\frac{4}{27} + \frac{32}{63}) . \end{array}$ Um den Ausdruck in der Klammer zu berechnen, bilden wir den Hauptnenner aus den Nennern $27$ und $63$ . Dieser ergibt sich mittels der Primfaktorzerlegung als das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen, $\begin{array}{r} k g V (27,63) = k g V (3^{3}, 3^{2} \cdot 7) = 3^{3} \cdot 7 = 189 . \end{array}$ Erweitern wir die Brüche in der Klammer entsprechend, so ergibt sich $\begin{array}{r} \frac{7}{18} \cdot (\frac{4}{27} + \frac{32}{63}) = \frac{7}{18} \cdot (\frac{28}{189} + \frac{96}{189}) . = \frac{7}{18} \cdot \frac{124}{189} = \frac{868}{3402} = \frac{62}{243} . \end{array}$ In der letzten Gleichung haben wir den Bruch $\frac{868}{3402}$ gekürzt, da beide Zahlen die $2$ und die $7$ als gemeinsame Primfaktoren haben.
Nun noch zu der Gleichung: $\begin{array}{r} \frac{x}{3} - 2 x = 8 \Leftrightarrow \end{array}$ $\begin{array}{r} \frac{x}{3} - \frac{6 x}{3} = 8 \Leftrightarrow \end{array}$ $\begin{array}{r} - \frac{5 x}{3} = 8 \Leftrightarrow \end{array}$ $\begin{array}{r} x = 8 \cdot (- \frac{3}{5}) \Leftrightarrow \end{array}$ $\begin{array}{r} x = - \frac{24}{5} . \end{array}$

Die Konstruktion der rationalen Zahlen - Aufgabe 2 (von 4)

Lotte hat 9 Kekse in Ihrer Brotzeitdose. Auf dem Schulweg fällt die Dose herunter. Einige Kekse zerbrechen dabei in jeweils 3 Teile. Lotte findet insgesamt 15 Einzelteile in Ihrer Dose und isst alle zerbrochenen Teile auf. Wieviele Kekse sind danach noch in der Dose?

Die gesuchte Anzahl der ganz gebliebenen Kekse sei mit $x$ bezeichnet, $y$ Kekse seien zerbrochen. Offenbar gilt dann $\begin{array}{r} x + y = 9 \end{array}$ $\begin{array}{r} x + 3 y = 15 . \end{array}$ Aus der ersten Gleichung ergibt sich $\begin{array}{r} y = 9 - x \end{array}$ und eingesetzt in die zweite Gleichung haben wir $\begin{array}{r} x + 3 \cdot (9 - x) = 15 \Leftrightarrow x + 27 - 3 x = 15 \Leftrightarrow - 2 x = 15 - 27 = - 12 \Leftrightarrow \frac{- 12}{- 2} = 6 . \end{array}$ Lotte hatte also noch 6 ganze Kekse in der Dose.
Kürzer geht die Lösung noch, wenn Sie ein wenig Übung haben und einfach die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren also die linken und rechten Seiten jeweils voneinander subtrahieren. Es ergibt sich dann sofort $\begin{array}{r} (x + 3 y) - (x + y) = x + 3 y - x - y = 2 y = 15 - 9 = 6 \end{array}$ und damit $y = 3 .$

Die Konstruktion der rationalen Zahlen - Aufgabe 3 (von 4)

Stellen Sie sich vor, um die ganze Erde ist entlang des Äquators ein Metallband so fest geschlungen, dass nirgends ein Zwischenraum zwischen Erdoberfläche und Band besteht. Nun verlängern Sie das Band um einen Meter und lockern es derart, dass der Abstand zwischen Band und Erdoberfläche überall gleich groß ist. Wie groß ist die entstehende Lücke zwischen Band und Erde?
Hinweis: Der Umfang eines Kreises mit Radius $r$ beträgt $2 π r$ , wobei $π \approx 3,14159 .$

Es sei $R_{e}$ der Radius der Erde, wir rechnen in der Einheit 1 Meter. Die Länge des Bandes zu Beginn ist also $L = 2 π R_{e} .$ Wir verlängern nun das Band um 1, der Radius wächst damit um ein Stück $δ > 0 :$ $L + 1 = 2 π \cdot (R_{e} + δ) .$ Nun setzen wir $L$ aus der ersten Gleichung ein und erhalten $\begin{array}{r} 2 π R_{e} + 1 = 2 π \cdot (R_{e} + δ) = 2 π R_{e} + 2 π δ . \end{array}$ Auflösen nach $δ$ ergibt $\begin{array}{r} δ = \frac{1}{2 p i} \approx 0,159 . \end{array}$ Das Band steht also knapp 16 cm von der Erdoberfläche ab - hätten Sie das gedacht? Noch erstaunlicher mutet es an, dass dieses Ergebnis vollkommen unabhängig vom Anfangsradius ist: Es sind immer diese knapp 16 cm, egal ob das Band um die Erde, um das ganze Universum oder nur um einen Tischtennisball geschlungen war!

Die Konstruktion der rationalen Zahlen - Aufgabe 4 (von 4)

Wir haben die rationalen Zahlen ohne Null, also $ℚ^{*}$ , aus dem Mengenprodukt $ℤ^{*} \times ℤ^{*}$ durch eine Äquivalenzrelation gewonnen: $\begin{array}{r} (a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c . \end{array}$ Erst danach haben wir die $0$ in Form des Bruches $\frac{0}{1}$ hinzugefügt. Das hat seinen guten Grund.
Was wäre denn passiert, wenn wir die Äquivalenzrelation von Beginn an auf dem Produkt $ℤ \times ℤ$ definiert hätten?

Tja, es wäre jedes Element in $ℤ^{*} \times ℤ^{*}$ Äquivalent zu $(0,0)$ gewesen, denn es gilt für ein beliebiges Paar $(a, b)$ $\begin{array}{r} a \cdot 0 = b \cdot 0 \Rightarrow (a, b) \sim (0,0) . \end{array}$ Die rationalen Zahlen bestünden dann nur aus einem einzigen Element, nämlich $(0,0)$ . Das ist natürlich nicht sinnvoll. Wenn wir die $0$ aber ausschließen, so erhalten wir die volle Pracht der rationalen Zahlen.