10 Folgen, Reihen und Grenzwerte

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Folgen, Reihen und Grenzwerte Aufgabe 1 (von 4)

Bestimmen Sie die Grenzwerte $\begin{array}{r} \lim_{x \to \infty} \frac{n - 3}{3 n^{2} - 10 n + 4^{'}} \end{array}$ $\begin{array}{r} \lim_{x \to \infty} \frac{4 n^{2} - 4 n^{- 2}}{2 n^{2} - 10 n + 4} . \end{array}$

Wir teilen Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von $n$ , in beiden Fällen ist das $n^{2}$ . Nach den Grenzwertsätzen ist dann
$\begin{array}{r} \lim_{x \to \infty} \frac{n - 3}{3 n^{2} - 10 n + 4^{'}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 / n - 3 / n^{2}}{3 - 10 / n + 4 / n^{2}} \end{array}$ $\begin{array}{r} = \frac{\lim_{x \to \infty} (1 / n - 3 / n^{2})}{\lim_{x \to \infty} (3 - 10 / n + 4 / n^{2})} \end{array}$ $\begin{array}{r} = \frac{0}{3} = 0 \end{array}$ $\begin{array}{r} \lim_{x \to \infty} \frac{4 n^{2} - 4 n^{- 2}}{2 n^{2} - 10 n + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - 4 / n^{4}}{2 - 10 / n + 4 / n^{2}} \end{array}$ $\begin{array}{r} = \frac{\lim_{x \to \infty} (4 - 4 / n^{4})}{\lim_{x \to \infty} (2 - 10 / n + 4 / n^{2})} \end{array}$ $\begin{array}{r} = \frac{4}{2} = 2 . \end{array}$ Sie erkennen, dass es nur auf die Faktoren bei den höchsten Potenzen von $n$ ankommt. Mit ein wenig Übung erkennt man den Grenzwert dann sofort, ohne viel umformen zu müssen.

Folgen, Reihen und Grenzwerte Aufgabe 2 (von 4)

Beweisen Sie, dass für eine konvergente Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ mit $a_{n} \in ℚ^{*}$ gilt: $\begin{array}{r} \lim_{x \to \infty} a_{n} = a \neq 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a} \end{array}$ .

Wir versuchen für die Rechnung wieder, die Abweichung vom Grenzwert zu betrachten: $\begin{array}{r} α_{n} = a - α_{n} m i t \lim_{x \to \infty} α_{n} = 0 \end{array}$ . Falls also ein $ϵ > 0$ vorgegeben ist, dann gibt es einen Index $n_{0}$ ab dem stets $\begin{array}{r} | α_{n} | < ϵ \end{array}$ ist. Nun können wir loslegen: $\begin{array}{r} | \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{n} | = | \frac{1}{a - α_{n}} | = | \frac{a - (a - α_{n})}{a \cdot (a - α_{n})} | = | \frac{α_{n}}{a^{2} - a \cdot α_{n}} | . \end{array}$ Was passiert mit dem Nenner der rechten Seite? Nach den Grenzwertsätzen für die Addition und Subtraktion gilt $\begin{array}{r} \lim_{x \to \infty} (a^{2} - a \cdot α_{n}) = a^{2} \neq 0 . \end{array}$
Dann muss ab einem bestimmten Index $n_{1}$ $\begin{array}{r} a^{2} - a \cdot α_{n} > = \frac{a^{2}}{2} \end{array}$ sein und zusammen mit der obigen Rechnung ergibt sich ab dem größeren der beiden Indizes $n_{0}$ und $n_{1}$ $\begin{array}{r} | \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{n} | = | \frac{α_{n}}{a^{2} - a \cdot α_{n}} | \leq \frac{2}{a^{2}} \cdot | a_{n} | < \frac{2 \cdot ϵ}{a^{2}} . \end{array}$ Diese obere Schranke wird mit $ϵ$ beliebig klein, wir sind mit dem Beweis fertig.

Folgen, Reihen und Grenzwerte Aufgabe 3 (von 4)

Welchen Wert haben die Reihen $\begin{array}{r} 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \frac{1}{625} + . . ., \end{array}$ $\begin{array}{r} 1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{36} - \frac{1}{216} + \frac{1}{1296} + . . . ? \end{array}$

$\begin{array}{r} 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \frac{1}{625} + . . . = \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{5})}^{n} = \frac{1}{1 - 1 / 5} = \frac{5}{4} \end{array}$ $\begin{array}{r} 1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{36} - \frac{1}{216} + \frac{1}{1296} + . . . \sum_{n = 0}^{\infty} {(- \frac{1}{6})}^{n} = \frac{1}{1 + 1 / 6} = \frac{6}{7} \end{array}$

Folgen, Reihen und Grenzwerte - Aufgabe 4 (von 4)

Ein Jäger macht sich mit seinem Hund auf, von Waldhütte A zu Waldhütte B zu laufen. Er läuft mit konstanter Geschwindigkeit, sein Hund läuft mit doppelter Geschwindigkeit. Wenn der Hund also bei B angekommen ist, hat der Jäger erst den halben Weg geschafft. Danach läuft der Hund wieder zurück, dem Jäger entgegen.

1. Frage: Welchen Bruchteil des Weges hat der Jäger geschafft, wenn er seinem Hund wieder begegnet?

Das Spiel wiederholt sich nun- der Hund läuft wieder voran Richtung Hütte B und macht kehrt, sobald er sie erreicht hat. So läuft er ständig zwischen Jäger und Hütte hin und her, wobei die Teilstrecken natürlich immer kürzer werden.

2. Frage: Welchen Weg hat der Hund zurückgelegt, wenn der Jäger am Ziel ist?

Hinweis 1: Definieren Sie zur Lösung eine geeignete geometrische Reihe.

Hinweis 2: Es gibt übrigens eine noch viel einfachere Lösung, die ich hier aber nicht verrate...

$\begin{array}{r} (1 + x)^{n} \geq 1 + n x \end{array}$ für alle $x \geq - 1 .$

Induktionsanfang: Für $n = 0$ ist die Aussage klarerweise richtig.

Induktionsschritt: Es sei die Aussage nun für n gültig. Wir müssen daraus d Richtigkeit für $n + 1$ herleiten. Das ist einfach: $\begin{array}{r} (1 + x)^{n + 1} = (1 + x) \cdot (1 + x)^{n} \end{array}$ $\begin{array}{r} \geq (1 + x) \cdot \underset{I n d V}{\underset{⏟}{(1 + n x)}} \end{array}$ $\begin{array}{r} = 1 + x + n x + n x^{2} \end{array}$ $\begin{array}{r} = 1 + (n + 1) x + n x^{2} \geq 1 + (n + 1) x \end{array}$ Fertig!