02 Logik und Geometrie II

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Logik und Geometrie II - Aufgabe 1 (von 4)

Bei den Mönchen des Hippokrates wurde der Satz des Pythagoras sehr großzügig ausgelegt:
Über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks wurden Halbkreise gezogen und dann mit dem Argument $\begin{array}{r} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{array}$ ganz salopp behauptet, dass die Fläche des großen Halbkreises gleich der Summe der Flächen der beiden kleinen Halbkreise ist: $\begin{array}{r} K_{a} + K_{b} = K_{c} . \end{array}$

Beweisen Sie mit Hilfe der Ähnlichkeit geometrischer Figuren, dass diese Aussage tatsächlich der Wahrheit entspricht.

Wie im Bild ersichtlich, ist der Halbkreis immer im Quadrat enthalten und nimmt dort einen bestimmten Flächenanteil in Anspruch.

Bezeichnen wir diesen Anteil mit α. Dann ist $\begin{array}{r} K = α \cdot F \end{array}$ mit irgendeinem 0 < α < 1/2. Dieser (relative) Anteil α ist aus Gründen der Ähnlichkeit immer gleich, unabhängig von der (absoluten) Größe der geometrischen Figuren.

Wenden wir diese Erkenntnis auf die gesicherte Gleichung $\begin{array}{r} F_{a} + F_{b} = F_{c} \end{array}$ an, so gewinnen wir durch Multiplikation der Gleichung mit α die äquivalente Form $\begin{array}{r} α \cdot (F_{a} + F_{b}) = α \cdot F_{c} = K_{c} . \end{array}$ und damit schließlich $\begin{array}{r} K_{a} + K_{b} = α \cdot F_{a} + α \cdot F_{b} = α \cdot (F_{a} + F_{b}) = α \cdot F_{c} = K_{c} . \end{array}$ Das ist die gewünschte Aussage.

Logik und Geometrie II - Aufgabe 2 (von 4)

Ein weiterer Satz über rechtwinklige Dreiecke ist der Höhensatz von Euklid. Er ist eng verwandt mit dem Satz von Pythagoras.

Die Länge des Lotes von $C$ auf die Hypotenuse ist die Höhe des Dreiecks und werde mit $h$ bezeichnet, der Punkt $L$ teile die Hypotenuse wieder in zwei Stücke mit den Längen $p$ und $q$ . Beweisen Sie die wichtige Beziehung $\begin{array}{r} h^{2} = p \cdot q . \end{array}$

Wir wissen ja schon, dass alle vorkommenden Dreiecke einander ähnlich sind. Genauso wie im Beweis des Satzes von Pythagoras erhalten wir damit identische Seitenverhältnisse zwischen der längeren und der kürzeren Kathete der zwei kleinen Dreiecke:

$\begin{array}{r} h \div q = p \div h . \end{array}$ Multiplikation auf beiden Seiten mit $h \cdot q$ h-q liefert die Behauptung: $\begin{array}{r} h^{2} = p \cdot q . \end{array}$ Der Höhensatz ist übrigens äquivalent zum Satz des Pythagoras. Man kann beide wechselseitig auseinander herleiten, ohne mit Seitenverhältnissen rechnen zu müssen. Vielleicht haben Sie Lust, das einmal selbst auszuprobieren.

Logik und Geometrie II - Aufgabe 3 (von 4)

Die Quadratur des Kreises ist nicht möglich, wie wir seit dem Beweis von Linde mann aus dem Jahr 1882 wissen. Eine einfachere Aufgabe haben aber schon die alten Griechen gelöst, und Sie können das jetzt auch. Versuchen Sie, ein Verfahren für die Quadratur eines Rechtecks mit Hilfe von Zirkel und Lineal anzugeben. Konstruieren Sie also aus einem Rechteck ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt.

Hier ein kleiner Tipp, verwenden Sie den Höhensatz:

$\begin{array}{r} h^{2} = p \cdot q . \end{array}$

Mit dem Höhensatz gelingt tatsächlich die Quadratur eines Rechtecks. Die Seitenlängen des Rechtecks seien dabei mit $c$ und $q$ bezeichnet.

Wie im Bild klappen wir die Seite der Länge $q$ nach rechts auf die Halbgerade der Strecke $A B$ und erhalten den Punkt $D$ . Wir verlängern dann die Seite der Länge $q$ zu einem Lot über $B$ . Nun bestimmen wir mit zwei gleichgroßen Kreisen um $A$ und $D$ den Mittelpunkt $M$ der Strecke $A D$ und schlagen um diesen den Thaleskreis. Dessen Schnittpunkt mit dem Lot über $B$ definiert einen Punkt $C$ mit dem $A D C$ zu einem rechtwinkligen Dreieck wird. Nach dem Höhensatz gilt $h^{2} = c \cdot q$ , das gesuchte Quadrat ist also jenes über der Höhe $B C$ .

Logik und Geometrie II - Aufgabe 4 (von 4)

Zum Abschluss können wir einen ersten wichtigen Schritt für die Konstruktion des magischen Pentagramms tun. Die Quadratwurzel aus $5$ spielt dort eine wichtige Rolle. Versuchen Sie also, ausgehend von den beiden Punkten $0$ und $1$ auf der Zahlengeraden die Zahl $\begin{array}{r} α = \sqrt{5} \end{array}$ zu konstruieren.

Die Lösung gelingt sehr einfach mit dem Verfahren zur Quadratur eines Rechtecks. Sie müssen nur - ausgehend vom Nullpunkt - durch fünfmaliges Abtragen der Länge $1$ mit dem Zirkel nach links den Punkt $- 5$ auf der Zahlengeraden fixieren. Dann sind Sie plötzlich in der gleichen Situation wie bei der Quadratur eines Rechtecks, welches die Seitenlängen $c = 5$ und $q = 1$ besitzt. Dieses Rechteck hat die Fläche $5 \cdot 1 = 5 .$

Es ist ein Leichtes, den Mittelpunkt $- 2$ des Thaleskreises zu finden und damit auch die Höhe $h$ des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks aus der vorigen Aufgabe. Diese Höhe erfüllt nach dem Höhensatz die Gleichung $h^{2} = 5$ und ist damit die gesuchte Seite des Quadrats mit Flächeninhalt $5$ .
Gratulation! Sie haben einen ersten großen Meilenstein auf dem Weg zum Geheimnis des Pentagramms erreicht! Sie können nun ganz allgemein zu jeder natürlichen Zahl die Wurzel konstruieren. Vielleicht machen Sie selbst noch ein paar weitere Experimente.