14 Der Grenzwert der Fibonacci Brüche

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Die Konstruktion der reellen Zahlen - Aufgabe 1 (von 3)

Lösen Sie die Gleichung nach x auf: $\begin{array}{r} x^{3} - 3 x = 2 \end{array}$ $\begin{array}{r} 5 x - 2 = \frac{2}{2 x - 1} \end{array}$ $\begin{array}{r} 2 x + \sqrt{x + 3} - 1 = 0 . \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{2} - 3 x = - 2 \end{array}$ $\begin{array}{r} x^{2} - 3 x + 2 = 0 \end{array}$ $\begin{aligned} x_{1,2} & = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 2} \\ = \frac{3 \pm 1}{4} \end{aligned}$ $\begin{array}{r} 5 x - 2 = \frac{2}{(2 x - 1)} \end{array}$ $\begin{array}{r} (5 x - 2) \cdot (2 x - 1) - 2 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{r} 10 x^{2} - 9 x = 0 \end{array}$ $\begin{array}{r} x \cdot (10 x - 9) = 0 \end{array}$ $\begin{array}{r} x_{1} = 0, x_{2} = - 0,9 \end{array}$ $\begin{array}{r} 2 x + \sqrt{x + 3} - 1 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{r} 2 x - 1 = \sqrt{x + 3} \end{array}$ $\begin{array}{r} 4 x^{2} - 4 x + 1 = x + 3 \end{array}$ $\begin{array}{r} 4 x^{2} - 5 x - 2 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{r} x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{1}{2} x = 0 \end{array}$ $\begin{array}{r} x_{1, 2} = \frac{\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{25}{16} + 2}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8} . \end{array}$ Beachten Sie, dass in der dritten Aufgabe beide Lösungen erlaubt sind (Probe bei Wurzelgleichungen!). Die Brüche in der dritten Gleichung kann man sich auch sparen, indem man die Division der Gleichung durch 4 umgeht und eine etwas allgemeinere Formel für quadratische Gleichungen benutzt: Für eine Gleichung der Form $\begin{array}{r} a \cdot x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0, \end{array}$ gibt es die reellen Lösungen $\begin{array}{r} x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}, \end{array}$ falls $b^{2} - 4 a c > = 0$ ist.

Diese Verallgemeinerung folgt sofort aus der speziellen Formel für $a = 1$ , indem man - wie eben in der obigen Rechnung - die Gleichung durch a teilt und dann $1 / (a^{2})$ aus der Wurzel herauszieht.

Die Konstruktion der reellen Zahlen - Aufgabe 2 (von 3)

Für den goldenen Schnitt, also die positive Lösung der Gleichung $\begin{array}{r} φ^{2} + φ - 1 = 0 \end{array}$ gibt es eine ganze Reihe verblüffender Formeln. Ganz einfach können Sie die folgende Wurzeldarstellung herleiten: $\begin{array}{r} φ = \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - . . . .}}}} \end{array}$ Probieren Sie es!

Aus der Definitionsgleichung des goldenen Schnitts folgt sofort $\begin{array}{r} φ^{2} = 1 - φ \Rightarrow φ = \sqrt{1 - φ} . \end{array}$ Damit erhalten wir durch wiederholtes Einsetzen eine Darstellung der Form $\begin{array}{r} φ = \sqrt{1 - \sqrt{1 - φ}} \end{array}$ oder eben auch beliebig tiefe Verschachtelungen wie zum Beispiel $\begin{array}{r} φ = \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - φ}}}}} . \end{array}$ Die durch $\begin{array}{r} φ = \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - . . . .}}}} \end{array}$ angedeutete Zahlenfolge ist also die konstante Folge, bei der alle Folgenelemente gleich $φ$ sind.

Die Konstruktion der reellen Zahlen - Aufgabe 3 (von 3)

Zuletzt noch ein weiterer verblüffender Zusammenhang zwischen den FIBONACCI- Zahlen und dem goldenen Schnitt. In der Literatur wird oft auch das multiplikative Inverse $1 / φ$ für den goldenen Schnitt genommen, also $\begin{array}{r} Φ = \frac{1}{φ} = 1 + φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 . . . \end{array}$ Dies ist also das Verhältnis der längeren zur kürzeren Strecke, falls die Strecken nach dem goldenen Schnitt aufgebaut sind. Nehmen wir noch die weitere Zahl $\begin{array}{r} Ψ = 1 - Φ = - φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = - 0,618 . . . \end{array}$ hinzu, so gilt für die Folge der FIBONACCI-Zahlen $(f_{n})_{n \in ℕ} = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .)$ die nicht-rekursive Darstellung $\begin{array}{r} (f_{n}) = \frac{Φ^{n} - Ψ^{n}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n}) . \end{array}$ Dieses bemerkenswerte Resultat heißt Formel von MOIVRE-BINET, obwohl sie wahrscheinlich schon gut 100 Jahre früher LEONHARD EULER und DANIEL BERNOULLI bekannt war. Es ist erstaunlich, wie die irrationalen Zahlen $\sqrt{5}, Φ$ und $Ψ$ immer wieder zu einer ganzen Zahl zusammenfinden.

Beweisen Sie zum krönenden Abschluss dieses Kurses die Formel von MOIVRE-BINET, am einfachsten geht es mit vollständiger Induktion nach $n$ .

$\begin{array}{r} f_{n} = \frac{Φ^{n} - Ψ^{n}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n}) . \end{array}$ Induktionsanfang, $n = 0$ und $n = 1$ : $\begin{array}{r} f_{0} = \frac{Φ^{0} - Ψ^{0}}{\sqrt{5}} = \frac{1 - 1}{\sqrt{5}} = 0 \end{array}$ und $\begin{array}{r} f_{1} = \frac{Φ^{1} - Ψ^{1}}{\sqrt{5}} = \frac{1 + \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5})}{2 \sqrt{5}} = 1 . \end{array}$ Beim Induktionsschritt zeigen wir nun allgemein, dass $f_{n - 1} + f_{n} = f_{n - 1}$ ist, falls wir die Formel für $n - 1$ und $n$ als gültig betrachten. $\begin{array}{r} f_{n - 1} + f_{n} = \underset{I n d V}{\underset{⏟}{\frac{Φ^{n - 1} - Ψ^{n - 1}}{\sqrt{5}}}} + \underset{I n d V}{\underset{⏟}{\frac{Φ^{n} - Ψ^{n}}{\sqrt{5}}}} \end{array}$ $\begin{array}{r} = \frac{Φ^{n} + Φ^{n - 1} - (Ψ^{n} + Ψ^{n - 1})}{\sqrt{5}} \end{array}$ $\begin{array}{r} \frac{Φ^{n} (1 + \frac{1}{Φ}) - Ψ^{n} (1 + \frac{1}{Ψ})}{\sqrt{5}} \end{array}$ $\begin{array}{r} = \frac{Φ^{n} Φ - Ψ^{n} Ψ}{\sqrt{5}} = \frac{Φ^{n + 1} - Ψ^{n + 1}}{\sqrt{5}} = f_{n + 1} . \end{array}$ Gratulation, Sie haben es geschafft mit den Übungen zu diesem Kurs! Viel Spaß noch bei der Kür. Wir lüften im nächsten Modul das Geheimnis des Pentagramms.