03 Die natürlichen Zahlen I

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Die natürlichen Zahlen I - Aufgabe 1 (von 2)

Das Distributivgesetz ist der wichtige Kitt, der die beiden Monoide ( $ℕ, +, 0$ ) und ( $ℕ, \cdot, 0$ ) zusammenhält. Es beschreibt den fundamentalen Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation: $\begin{array}{r} x \cdot (y + z) = x y + x z . \end{array}$ Versuchen Sie, dieses Gesetz - ähnlich wie beim Kommutativgesetz der Multiplikation durch ein Modell mit Blumen zu beweisen.

Wir nehmen als Beispiel das Blumenmodell der Gleichung $\begin{array}{r} 5 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 . \end{array}$

Die natürlichen Zahlen I - Aufgabe 2 (von 2)

Machen Sie ein paar mathematische Experimente! Multiplizieren Sie dazu zwei natürliche Zahlen, die sich um genau $> 2$ unterscheiden. Beispiele sind $3 \cdot 5, 7 \cdot 9$ oder $13 \cdot 15 .$
Was fällt Ihnen auf?

Die Ergebnisse liegen alle in der Nähe einer Quadratzahl: $\begin{array}{r} 3 \cdot 5 = 15 \\ 7 \cdot 9 = 63 \\ 13 \cdot 15 = 195 . \end{array}$ Es fehlt immer genau 1, um eine Quadratzahl zu erreichen. Versuchen Sie nun, diesen erstaunlichen Zusammenhang direkt zu beweisen.

Ganz einfach: Das Produkt lässt sich immer in der Form $n \cdot (n + 2)$ schreiben. Erhöht man es um $1$ , sieht man durch Anwendung der Rechengesetze in $ℕ$ $\begin{array}{r} n \cdot (n + 2) + 1 = n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} . \end{array}$ Das ist eine Quadratzahl und damit die gewünschte Aussage erreicht.
Viel Vergnügen im nächsten Kapitel!