12 Die Konstruktion der reellen Zahlen

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Die Konstruktion der reellen Zahlen - Aufgabe 1 (von 3)

Warum ist die Menge $𝒩$ der Nullfolgen ein Ideal im Ring $𝒞 ℱ$ der CAUCHY-Folgen?

Klarerweise ist nach den Grenzwertsätzen sowohl die Summe als auch das Produkt zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge. Das Produkt einer beliebigen CAUCHY-Folge mit einer Nullfolge ist aber auch eine Nullfolge, da CAUCHY-Folgen nach Definition ja immer beschränkt sind.

Es sei also $(a_{n})_{n i n N}$ eine Nullfolge und $(c_{n})_{n \in ℕ}$ n in N eine CAUCHY-Folge. Dann gibt es ein $M > 0$ mit $| c_{n} | \leq M$ für alle $n \in ℕ$ Dann ist $\begin{array}{r} | a_{n} \cdot c_{n} | \leq M \cdot | a_{n} | \end{array}$ und damit haben wir $\begin{array}{r} \lim_{n \Rightarrow \infty} (a_{n} \cdot c_{n}) = 0 \end{array}$ wegen $\begin{array}{r} \lim_{n \Rightarrow \infty} a_{n = 0} \end{array}$ Das Produkt $(a_{n})_{n \in ℕ} \cdot (c_{n})_{n \in ℕ}$ ist also ebenfalls eine Nullfolge.

Die Konstruktion der reellen Zahlen - Aufgabe 2 (von 3)

Es sei $(a_{n})_{n \in ℕ}$ eine Zahlenfolge mit den folgenden drei Eigenschaften:

1. Die Folge ist alternierend. Das bedeutet, die Folgenelemente sind abwechselnd größer gleich und kleiner gleich ihren direkten Nachfolgern: $\begin{array}{r} a_{n} \leq a_{n + 1}, a_{n + 1} \leq a_{n + 2}, a_{n + 2} \leq a_{n + 3}, a_{n + 3} \leq a_{n + 4}, . . . \end{array}$ Die Folge tut also anschaulich gesprochen - abwechselnd einen Schritt nach oben und einen nach unten.
2. Die Unterschiede benachbarter Folgenelemente werden monoton kleiner: kleiner: $\begin{array}{r} | a_{n} - a_{n - 1} | \geq | a_{n + 1} - a_{n} | . \end{array}$
3. Es gilt $\lim_{n \Rightarrow \infty} (a_{n} - a_{n - 1}) = 0$ .

Machen Sie sich anschaulich plausibel, dass $(a_{n})_{n \in ℕ}$ eine CAUCHY-Folge ist.

Die Folge könnte sich beispielhaft so verhalten:

Wegen Bedingung 1. besteht Sie aus lauter "Zacken".

Bedingung 2. besagt: Wenn immer Sie von einer "oberen Zacke" $a_{n}$ nach unten zu $a_{n + 1}$ gehen und anschließend wieder nach oben zu $a_{n + 2},$ so erreichen Sie höchstens wieder Gleichstand mit $a_{n}$ : $\begin{array}{r} a_{n + 2} \leq a_{n} \end{array}$ Die oberen "Zacken" bilden - für sich allein betrachtet - also eine monoton fallende Folge. Sinngemäß verhält es sich mit den "unteren Zacken": Sie bilden eine monoton wachsende Folge. Was bedeutet das?

Ganz einfach: Falls zum Beispiel $a_{n}$ eine "obere Zacke" ist (bei "unteren Zacken" geht es genauso), dann müssen alle nachfolgenden Elemente $a_{k}$ (also solche mit $k \geq n$ ) im Intervall $[a_{n - 1}, a_{n}]$ liegen.

Nun tritt Bedingung 3. auf den Plan. Da der Abstand zweier benachbarter Folgenelemente gegen Null strebt, können jeweils alle nachfolgenden Elemente in immer engere Intervalle "eingeklemmt" werden, bilden also eine CAUCHY-Folge.

Bemerkung: Natürlich könnte man hier auch einen ganz formalen Beweis mit Epsilontik und Grenzindizes machen. Eine sauber geführte anschauliche Argu-mentation ist hier aber durchaus legitim und vielleicht sogar einprägsamer.

Die Konstruktion der reellen Zahlen - Aufgabe 3 (von 3)

Warum ist die seltsame Folge $\begin{array}{r} (d_{n})_{n \in ℕ} = (\frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \dots) \end{array}$ aus dem Kapitel über die rationalen Zahlen eine CAUCHY-Folge?

Wir können versuchen, auf die Folge $\begin{array}{r} (d_{n}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \dots) \end{array}$ die vorige Aufgabe anzuwenden. In der Tat, schon die ersten Experimente $\begin{array}{r} \frac{3}{2} - \frac{7}{5} = \frac{1}{10} \end{array}$ $\begin{array}{r} \frac{7}{5} - \frac{17}{12} = \frac{- 1}{60} \end{array}$ $\begin{array}{r} \frac{17}{12} - \frac{41}{29} = \frac{1}{348} \end{array}$ legen die Vermutung nahe, welche die Lösung bringt: $\begin{array}{r} \frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} = \frac{(- 1)^{n}}{b_{n} \cdot b_{n + 1}} \end{array}$ Dies geht ganz einfach mit vollständiger Induktion nach n, ähnlich der Untersuchung dieser Folge bei den rationalen Zahlen.

Den Induktionsanfang haben wir mit den obigen Beispielen schon erledigt.

Induktionsschritt $n \Rightarrow n + 1 :$ Nach den Regeln des Bruchrechnens gilt stets $\begin{array}{r} \frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} = \frac{a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b_{n}}{b_{n} \cdot b_{n + 1}} . \end{array}$ Die Induktionsvoraussetzung lautet nun, dass dieser Ausdruck für alle natürlichen Zahlen bis zur Grenze n gleich der Zahl $\begin{array}{r} \frac{(- 1)^{n}}{b_{n} · b_{n + 1}} \end{array}$ ist. Oder gleichbedeutend, dass für den Zähler $a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b_{n} = (- 1)^{n}$ gilt.

Wir müssen zeigen, dass diese Formel auch für $n + 1$ bestehen bleibt. Dazu rechnen wir $\begin{array}{r} \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} - \frac{a_{n + 2}}{b_{n + 2}} = \frac{a_{n} + 2 b_{n}}{a_{n} + b_{n}} - \frac{a_{n + 1} + 2 b_{n + 1}}{a_{n + 1} + b_{n + 1}} \end{array}$ $\begin{array}{r} = \frac{(a_{n} + 2 b_{n}) \cdot (a_{n + 1} + b_{n + 1}) - (a_{n + 1} + 2 b_{n + 1}) \cdot (a_{n} + b_{n})}{(a_{n} + b_{n}) \cdot (a_{n + 1} + b_{n + 1})} \end{array}$ $\begin{array}{r} \frac{(- 1) \cdot (a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b_{n})}{b_{n + 1} \cdot b_{n + 2}} . \end{array}$ Nach Induktionsvoraussetzung ist aber $a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b n = (- 1)^{n}$ , und Einsetzen dieser Beziehung in das Ergebnis liefert schließlich die Behauptung: $\begin{array}{r} \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} - \frac{a_{n + 2}}{b_{n + 2}} = \frac{(- 1)^{n}}{b_{n + 1} \cdot b_{n + 1}} . \end{array}$ Da die $b_{n}$ monoton gegen unendlich streben, sieht man sofort, dass diese Folge alle Bedingungen der vorigen Aufgabe erfüllt und daher eine CAUCHY-Folge ist.

Und weil $ℝ$ vollständig ist, hat diese Folge tatsächlich einen Grenzwert in $ℝ$ , nämlich die allseits bekannte Wurzel aus 2.