11 Dezimalbrüche rationaler Zahlen

$$\begin{array}{r}0,\overline{8}=8\cdot (\mathrm{0,1}+\mathrm{0,001}+...)=\frac{8}{10}\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{1}{10}{)}^n\end{array}$$ $$\begin{array}{r}=\frac{8}{10}\cdot \frac{1}{1-1/10}=\frac{8}{10}\cdot \frac{10}{9}=\frac{8}{9}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}0,\overline{(1234)}=1234\cdot ({10}^{-4}+{10}^{-8}+{10}^{-12}+...)=\frac{1234}{{10}^4}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }(\frac{1}{10}{)}^n\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\frac{1234}{{10}^4}\cdot \frac{1}{1-1/{10}^4}=\frac{1234}{{10}^4}\cdot \frac{{10}^4}{9999}=\frac{1234}{9999}.\end{array}$$ Wir erkennen eine Gesetzmäßigkeit, die uns sofort zur Lösung der dritten Aufgabe führt: $$\begin{array}{r}0,\overline{(428571)}=\frac{428571}{9999}.\end{array}$$ Teilt man also eine ganze Zahl mit $n$ Stellen durch die Zehnerpotenz ${10}^n$, so entsteht ein endlicher Dezimalbruch. Teilt man die gleiche Zahl durch eins weniger, also durch ${10}^n-1$ , so wird aus dem endlichen Dezimalbruch ein periodischer, indem sich die $n$ Stellen nach dem Komma unendlich wiederholen.

Wir zeigen die Eindeutigkeit der Dezimalbruchentwicklung am Beispiel der beiden Dezimalbrüche ${\alpha }_1=\mathrm{0,123123}...$ und ${\alpha }_2=\mathrm{0,123124}...$
Die Argumentation kann auf jedes beliebige Paar von Dezimalbrüchen angewendet werden.
Der Unterschied liegt also in der 6. Stelle nach dem Komma. Klarerweise gilt, da wir Neunerperioden ausgeschlossen haben! $$\begin{array}{r}{\alpha }_1<\mathrm{0,1231239999999}...=\mathrm{0,123123}\overline{9}=\mathrm{0,123123}+\mathrm{0,00000}\overline{9}.\end{array}$$ Untersuchen wir den zweiten Summanden auf der rechten Seite, so erhalten wir nach der geometrischen Reihe $$\begin{array}{r}\mathrm{0,000000}\overline{9}={10}^{-7}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{9}{{10}^n}=9\cdot {10}^{-7}\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=9\cdot {10}^{-7}\frac{10}{9}={10}^{-6}\end{array}$$ Oben eingesetzt ergibt sich damit $$\begin{array}{r}{\alpha }_1<\mathrm{0,123123}+\mathrm{0,00000}\overline{9}=0,123123+{10}^{-6}=\mathrm{0,123124}<{\alpha }_2\end{array}$$ und damit ${\alpha }_1<{\alpha }_2$
Der Unterschied der Dezimalbruchentwicklungen an einer einzigen Stelle kann also nicht durch weiter hinten stehende Nachkommastellen ausgeglichen werden, auch wenn das unendlich viele sind! Wir verdanken die Eindeutigkeit der Dezimalbrüche letztlich der geometrischen Reihe.

Nun ja, eigentlich ist das alles ziemlich klar, nachdem wir schon sehr viel über rationale Zahlen und deren gelernt haben. Machen wir es also kurz.

Zunächst zum zweiten Teil der Aufgabe: Jeder periodische Dezimalbruch konvergiert gegen eine rationale Zahl, denn er ist wie wir vorhin gesehen haben als eine geometrische Reihe darstellbar, deren Grenzwert sich als ein Bruch mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner entpuppt.

Wenn wir umgekehrt einen Bruch $a/b$ mit ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$ haben, so müssen wir uns nur das Verfahren genauer ansehen, mit dem wir die Dezimalbruchentwicklung berechnet haben. Nach der Ermittlung der n-ten Stelle nach dem Komma landeten wir immer bei einem Rest $$\begin{array}{r}{R}_n=\frac{1}{{10}^n}\cdot \frac{r}{b}mit0\le r<b\end{array}$$, mit wobei $r$ eine ganze Zahl ist. Diese bestimmte dann eindeutig die nächste Dezimalziffer s zwischen 0 und 9 durch die Einschließung $$\begin{array}{r}\frac{s}{10}\le \frac{r}{b}<\frac{s+1}{10}\end{array}$$ Wir sehen, dass wir entweder bei $r=0$ ankommen, also bei einem endlichen Dezimalbruch, oder sich der Ablauf spätestens nach b Schritten wiederholt und das Verfahren in eine Periode mündet.

Gehen wir zunächst davon aus, dass $a/b$ eine endliche Dezimalbruchentwicklung besitzt. Dann können wir $$\begin{array}{r}\frac{a}{b}=\frac{c}{{10}^n}=\frac{c}{2^n\text{·}{5}^n}\end{array}$$ schreiben. Nach Kürzen bleiben nur die Primfaktoren $2$ und $5$ für b übrig. Beachten Sie, wie wichtig auch hier die eindeutige Primfaktorzerlegung ist: Durch das Kürzen fallen Primfaktoren weg, es können niemals neue Primfaktoren hinzukommen. Falls umgekehrt $b=2^m\cdot 5^n$ ist, so betrachten wir zunächst $m<n$ Dann ist $$\begin{array}{r}\frac{a}{b}=\frac{a}{2^m\text{·}{5}^n}\frac{a\text{·}{2}^{n-m}}{2^n\text{·}{5}^m}=\frac{a\text{·}{2}^{n-m}}{{10}^n}\end{array}$$ ein endlicher Dezimalbruch. Der Fall $m>n$ geht genauso. Diese Aufgabe hat übrigens eine nicht ganz so einfache Fortsetzung. Man unterscheidet nämlich bei den periodischen Dezimalbrüchen noch zwischen den rein-periodischen und den gemischt-periodischen Dezimalbrüchen. Betrachten wir dazu nur Dezimalbrüche zwischen 0 und 1. Bei einem rein-periodischen Dezimalbruch beginnt die Periode sofort nach dem Komma: $$\begin{array}{r},134134134134134...=0,\overline{134}\end{array}$$ oder $$\begin{array}{r}\mathrm{0,0056723005672300567230056723}...=0,\overline{0056723}\end{array}$$ Bei einem gemischt-periodischen Dezimalbruch beginnt die Periode erst weiter hinten: $$\begin{array}{r}0.98120005134134134134134=\mathrm{0,98120005}\overline{134}.\end{array}$$ Man kann nun beweisen, dass ein vollständig gekürzter Bruch $0<a/b<1$ rein-periodisch ist, wenn die Primfaktoren 2 und 5 überhaupt nicht in b auftauchen. Er ist gemischt-periodisch, wenn in b neben Primfaktoren $\notin \{2,5\}$ auch noch wenigstens eine 2 oder 5 vorkommt. Sie können das gerne ausprobieren. Der Beweis ist nicht ganz so einfach. Wenn Sie Interesse haben, fragen Sie einfach direkt bei mir nach.

Das Problem liegt in der ungenauen Schreibweise $$\begin{array}{r}\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-...}}}\end{array}$$ für einen Grenzwert. Denn diese Notation verbirgt die entscheidende Information: Nämlich wie es bei den Punkten weitergeht und sich der geschachtelte Bruch entwickelt. Offenbar ergibt sich die gleiche Abfolge der Zähler und Nenner, egal, ob wir die drei Punkte durch 1 oder 2 ersetzen.

Es ist aber immer $$\begin{array}{r}1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-1}}}\end{array}$$ und $$\begin{array}{r}1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-2}}}\end{array}$$ egal wie tief wir den (endlichen!) Kettenbruch verschachteln. Somit haben wir auch im Grenzwert zwei verschiedene Werte, nämlich 1 und 2- nur wurde in der Schreibweise dieser Unterschied verschleiert.

Um eine solche Mehrdeutigkeit zu vermeiden, verlangt man in der Mathematik, dass die Kettenbrüche einen Aufbau der Form $$\begin{array}{r}1=b_0+\frac{b_1}{1+\frac{b_2}{1+\frac{b_3}{1+...}}}\end{array}$$ haben. Dann ist sogar jede reelle Zahl eindeutig darstellbar durch eine solche Zahlenfolge $[b_0;b_1,b_2,...]$