13 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

$$\begin{array}{rl}{9}^{\frac{3}{2}}& =9^{\frac{1}{2}\cdot 3}\\ & ={\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3\\ & =3^3\\ & =27\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{12}^{\frac{3}{4}}\cdot (\sqrt{144}{)}^{\frac{1}{4}}& ={12}^{\frac{3}{4}}\cdot {12}^{\frac{1}{4}}\\ & ={12}^{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}\\ & ={12}^1\\ & =12\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\sqrt[5]{{125}^{\frac{10}{3}}}& ={\left({125}^{\frac{10}{3}}\right)}^{\frac{1}{5}}\\ & ={125}^{\frac{10}{3}\cdot \frac{1}{5}}\\ & ={125}^{\frac{2}{3}}\\ & =25\end{array}$$

$$\begin{array}{r}{x}^{\frac{1}{2}}=6\Rightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2=6^2=36\leftrightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{r}x=36.\end{array}$$ Beachten Sie, dass wir im ersten Schritt quadriert haben, also keine Äquivalenzrelation ausgeführt haben. In einem solchen Fall müssen wir durch eine Probe nachweisen, dass wir keine künstlichen Lösungen erzeugt haben. Es ist aber alles in Ordnung, $x=36$ löst die obige Gleichung.

In der folgenden Lösung sind wir mal faul im Ausrechnen, sondern jonglieren einfach mit den Potenzgesetzen: $$\begin{array}{rl}\frac{{16}^{\frac{3}{2}}}{(\sqrt{x}{)}^3}& =8\leftrightarrow \text{(es muss }x>0\text{ sein!)}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{16}^{\frac{3}{2}}& =8\cdot (\sqrt{x}{)}^3\leftrightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{4}^3& =2^3\cdot x^{\frac{3}{2}}\Rightarrow \text{(wieder quadrieren!)}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{4}^6& =2^6\cdot x^3\leftrightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{x}^3& =\frac{4^6}{2^6}={\left(\frac{4}{2}\right)}^6=2^6\leftrightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}(x^3{)}^{\frac{1}{3}}& =(2^6{)}^{\frac{1}{3}}=2^2\leftrightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}x& =4\end{array}$$ Die Probe ergibt auch hier, dass die Lösung korrekt ist. Bemerkung: In dieser Lösung wurde darauf geachtet, dass möglichst wenig Potenzen ausgerechnet werden, damit Sie das jonglieren mit den Potenzgesetzen üben können. Berechnet man sofort ${16}^{\frac{3}{2}}=64$ und teilt die Gleichung durch 8, ergibt sich die Lösung wegen $2^3=8$ natürlich schneller aus der Gleichung $$\begin{array}{rl}{\sqrt{x}}^3& =8.\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[6]{x^4}& =0\leftrightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{rlr}\sqrt[3]{x^2}& =\sqrt[6]{x^4}& =2^{\frac{4}{6}}=2^{\frac{2}{3}}\leftrightarrow \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{x}^{\frac{2}{3}}& =2^{\frac{2}{3}}\leftrightarrow \\ & \text{(hoch }\frac{3}{2}\text{ ist eine Äquivalenzumformung!)}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}x& =2.\end{array}$$

Es geht darum, für einige natürliche Zahlen n den Wert $$\begin{array}{r}{\alpha }_n={(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...\frac{1}{n!})}^{(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\pm ...+\frac{(-1{)}^n}{n})}\end{array}$$ zu berechnen. Mit einem kleinen Computerprogramm man $$\begin{array}{r}{\alpha }_1=2\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_2=\mathrm{1,58}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_3=\mathrm{2,26}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_4=\mathrm{1,78}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_5=\mathrm{2,18}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_6=\mathrm{1,85}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_7=\mathrm{2,13}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{10}=\mathrm{1,90}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{11}=\mathrm{2,08}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{20}=\mathrm{1,95}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{21}=\mathrm{2,04}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{30}=\mathrm{1,96}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{31}=\mathrm{2,03}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{40}=\mathrm{1,97}...\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\alpha 41& =\mathrm{2,02}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{50}=\mathrm{1,980}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{51}=\mathrm{2,019}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{60}=\mathrm{1,983}...\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\alpha }_{61}=\mathrm{1,980}...\end{array}$$ Es ergibt sich die Vermutung $$\begin{array}{r}\underset{x\to \infty }{\lim }{\alpha }_n={\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}\right)}^{{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}}}=2\end{array}$$ eine wahrhaft spannende Darstellung der Zahl 2. Die Vermutung stimmt tatsächlich, vielleicht lernen Sie etwas darüber im Laufe Ihres Studiums.