06 Die Konstruktion der ganzen Zahlen

0:00 ...

Auf das Video Klicken zum Abspielen & Im Video ziehen zum Vor-/Zurückspielen

Timestamps

Daten werden geladen...

Die ganzen Zahlen I - Aufgabe 1 (von 4)

Zu Beginn ein paar Rechenübungen. Die Buchstaben sind Platzhalter (Variablen) für ganze Zahlen. $\begin{array}{r} ((- 5) \cdot (- 3 + 5))^{2} \cdot ((- 3 + 4) \cdot 3 - 4) = \end{array}$ $\begin{array}{r} (a + 3)^{2} - a^{2} + (- 2) \cdot a = \end{array}$ $\begin{array}{r} (a + (- 1) \cdot b)^{2} - (- 2) \cdot a b + a^{2} + (- 1) \cdot b^{2} = \end{array}$

$\begin{array}{r} ((- 5) (- 3 + 5))^{2} \cdot ((- 3 + 4) \cdot 3 - 4) = ((- 5) \cdot 2)^{2} * (1 \cdot 3 - 4) \end{array}$ $\begin{array}{r} (- 10)^{2} \cdot (- 1) \end{array}$ $\begin{array}{r} = 100 (- 1) = - 100 \end{array}$ $\begin{array}{r} (a + 3)^{2} - a^{2} + (- 2) \cdot a = a^{2} + 6 a + 9 - a^{2} - 2 a = 4 a + 9 \end{array}$ $\begin{array}{r} (a + (- 1) \cdot b)^{2} - (- 2) \cdot a b + a^{2} + (- 1) \cdot b^{2} = (a - b)^{2} + 2 a b + a^{2} - b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} + 2 a b + a^{2} - b^{2} \end{array}$ $\begin{array}{r} = 2 a^{2} \end{array}$

Die ganzen Zahlen I - Aufgabe 2 (von 4)

Experimentieren Sie wieder ein wenig mit natürlichen Zahlen. Bilden Sie die Summen aus den ersten ungeraden Zahlen, zum Beispiel $1 + 3, 1 + 3 + 5$ oder auch $1 + 3 + 5 + 7 + 9 .$ Welch erstaunlicher Zusammenhang fällt Ihnen auf?

Offenbar ergeben sich diesmal stets genaue Quadratzahlen! Natürlich haben Sie keine Schwierigkeiten, hierfür einen allgemeinen Beweis zu geben, oder?
Hinweis: Es ist sinnvoll, die Aussage in folgende Formel zu bringen: $\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = n^{2} . \end{array}$

Die ganzen Zahlen I - Aufgabe 3 (von 4)

Die ganzen Zahlen wurden aus den natürlichen Zahlen durch die Äquivalenzrelation $\begin{array}{r} (a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a + d = b + c \end{array}$ definiert. Reflexivität und Symmetrie wurden bereits besprochen. Beweisen Sie nun, dass diese Relation auch transitiv ist: $\begin{array}{r} (a, b) \sim (c, d) \land (c, d) \Rightarrow (a, b) \sim (e, f) . \end{array}$

$\begin{array}{r} (a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a + d = b + c \end{array}$ $\begin{array}{r} (c, d) \sim (e, f) \Leftrightarrow c + f = d + e \end{array}$ Addition beider Gleichungen ergibt $\begin{array}{r} (a + d) + (c + f) = (b + c) + (d + e) \end{array}$ oder nach Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz $\begin{array}{r} a + f + (c + d) = b + e + (c + d) \end{array}$ Aus der anschaulichen Interpretation der Addition - wenn wir nach dem Hineinlegen von $g = c + d$ Dingen in zwei Körbe gleich viele Dinge in beiden Körben haben, dann müssen vorher auch schon gleich viele Dinge in den Körben gewesen sein - ergibt sich sofort $\begin{array}{r} a + f = b + e \Leftrightarrow (a, b) \sim (e, f) . \end{array}$

Die ganzen Zahlen I - Aufgabe 4 (von 4)

Zeigen Sie, dass die Äquivalenzklasse eines Elementes $(a, b) \in ℕ^{2}$ nicht von der Auswahl eines Repräsentanten abhängt, dass also $\begin{array}{r} (a, b) = (c, d) \end{array}$ genau dann gilt, wenn $(a, b) \sim (c, d)$ ist.

Wenn $(a, b) \sim (c, d)$ ist, dann ist wegen der Symmetrie auch $(c, d) s i m (a, b)$ . Daher ist nach der Transitivität jedes zu $(a, b)$ äquivalente Element auch zu $(c, d)$ äquivalent und umgekehrt. Es gilt also $\begin{array}{r} (a, b) = (c, d) . \end{array}$ Falls umgekehrt $(a, b) = (c, d)$ ist, gilt wegen der Reflexivität $\begin{array}{r} (a, b) \in (a, b) = (c, d) \Rightarrow (a, b) \sim (c, d) . \end{array}$